เลขคณิต & เรขาคณิต
ชีทสรุปความสามารถทั่วไปสำหรับเตรียมสอบนายสิบตำรวจ สายอำนวยการ เนื้อหา 20 บท พร้อมสูตร วิธีคิด เทคนิคจำ จุดที่มักพลาด และ Quick Review
บทที่ 13 — เลขคณิต & เรขาคณิต
ต้องรู้เรื่องอะไร
ลำดับเลขคณิต/เรขาคณิต + พีทาโกรัส + มุมและเส้นขนาน บทนี้ผสมระหว่างเลขและรูปทรง
เรื่องสำคัญ
- ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence)
- ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
- พีทาโกรัส
- มุมและเส้นขนาน
สูตร / กฎสำคัญ
ลำดับเลขคณิต:
- aₙ = a₁ + (n−1)d
- Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n−1)d] หรือ n/2 × (a₁ + aₙ)
ลำดับเรขาคณิต:
- aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
พีทาโกรัส: a² + b² = c²
สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมุม C = 90° แสดงด้านทั้งสาม: a = ด้านตรงข้ามมุม A, b = ด้านประชิดมุม A (และตรงข้ามมุม B), c = ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านยาวสุด) มีสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ที่มุม C แสดงว่าเป็นมุมฉาก พร้อมสูตร a² + b² = c² ใต้ภาพ
[ ภาพประกอบบทที่ 13: right-triangle-pythagoras ]สามสามัญ (จำได้): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
มุม:
- ผลบวกมุมภายในสามเหลี่ยม = 180°
- เส้น 2 เส้นตัดกัน: มุมตรงข้ามเท่ากัน
- เส้นขนานตัดด้วยเส้นตัด: มุมสมนัยเท่ากัน, มุมภายในด้านเดียวกันรวม 180°
วิธีคิด
ลำดับ: ระบุ d หรือ r → แทนสูตร
พีทาโกรัส: ดูว่าด้านไหนขาด → a² + b² = c²
มุม: วาดรูปช่วย → ระบุความสัมพันธ์
เทคนิคจำ
"พีทาโกรัส: c เป็นด้านยาวสุด (ตรงข้ามมุมฉาก)"
"สามเหลี่ยม: มุมรวม = 180°"
"เส้นขนาน: มุมสมนัยเท่ากัน และมุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดรวม 180°"
จุดที่มักพลาด
- สับสน c ในพีทาโกรัส (c = ด้านยาวสุด)
- ลืมว่ามุมในสามเหลี่ยมรวม 180°
ตัวอย่าง
โจทย์: ลำดับเลขคณิต 7, 11, 15, 19, … จงหาพจน์ที่ 20
วิธีคิด:
- a₁ = 7, d = 4
- a₂₀ = 7 + (20−1) × 4 = 7 + 76 = 83
คำตอบ: 83
Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)
- สูตรลับจำเร็ว: "จำชุดเลขพีทาโกรัสยอดนิยม:
3-4-5,5-12-13,8-15-17,7-24-25ถ้าโจทย์ให้ด้านมุมฉากมาสองด้าน ให้เทียบสัดส่วนกับชุดเลขเหล่านี้เพื่อตอบได้ในทันที" - คีย์ลัดจำ: เส้นขนานสองเส้นตัดด้วยเส้นขวาง มุมแย้งจะเท่ากันเสมอ และมุมภายในฝั่งเดียวกันรวมกันได้ 180°