อสมการ
ชีทสรุปความสามารถทั่วไปสำหรับเตรียมสอบนายสิบตำรวจ สายอำนวยการ เนื้อหา 20 บท พร้อมสูตร วิธีคิด เทคนิคจำ จุดที่มักพลาด และ Quick Review
บทที่ 11 — อสมการ
ต้องรู้เรื่องอะไร
อสมการคือสมการที่มีเครื่องหมาย <, >, ≤, ≥ คล้ายสมการแต่มีจุดที่ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย
เรื่องสำคัญ
- อสมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร
- อสมการกำลังสอง
- ค่าสัมบูรณ์
สูตร / กฎสำคัญ
กฎตัวหารลบ:
เมื่อคูณ/หารด้วยจำนวนลบ → กลับเครื่องหมาย
อสมการกำลังสอง ax² + bx + c:
- แยกตัวประกอบ หาราก x₁ < x₂
- ถ้า a > 0 (กราฟเปิดขึ้น ∪): ค่าเป็นบวก "นอก" ช่วงราก, เป็นลบ "ระหว่าง" ราก
- ถ้า a < 0 (กราฟเปิดลง ∩): ตรงกันข้าม
ค่าสัมบูรณ์ |x − a| < b:
- หมายถึง −b < x − a < b
- หรือ a − b < x < a + b
แผนภาพพาราโบลา 2 รูปเคียงกัน: ซ้าย = a>0 (เปิดขึ้น ∪) แสดงราก x₁ และ x₂ บนแกน x พร้อม highlight ช่วงที่ f(x)>0 (นอกช่วงราก สีเขียวอ่อน) และ f(x)<0 (ระหว่างราก สีแดงอ่อน); ขวา = a<0 (เปิดลง ∩) แสดงสีตรงกันข้าม พร้อมลูกศรและข้อความ 'หุบเขา' 'เนินเขา' ใช้อธิบายอสมการกำลังสอง
[ ภาพประกอบบทที่ 11: parabola-opening-up-vs-down ]วิธีคิด
เชิงเส้น: เหมือนสมการ แต่ระวังตัวหารลบ
กำลังสอง:
- ย้ายทุกพจน์ข้างเดียว
- หารากของสมการ (= 0)
- ดูทิศเปิดพาราโบลา → ตอบช่วง
เทคนิคจำ
"หารด้วยลบ = กลับเครื่องหมาย"
"a > 0 = หุบเขา (∪) / a < 0 = เนินเขา (∩)"
"≥ ≤ ต้องรวมจุดราก, > < ไม่รวม"
จุดที่มักพลาด
- ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อหารด้วยลบ
- ทิศพาราโบลากลับด้าน
- ไม่รวม/รวมจุดรากผิด
ตัวอย่าง
โจทย์: แก้อสมการ 3(x − 2) ≥ 2x + 5
วิธีคิด:
- 3x − 6 ≥ 2x + 5
- 3x − 2x ≥ 5 + 6
- x ≥ 11
คำตอบ: x ≥ 11
Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)
- สูตรลับจำเร็ว: "กฎเหล็กข้อเดียวของอสมการ: เมื่อใดก็ตามที่นำ จำนวนลบ ไปคูณหรือหารทั้งสองข้างของอสมการ ต้องกลับเครื่องหมาย (เช่น จาก > เป็น <) เสมอ!"
- คีย์ลัดจำ: การเขียนคำตอบเป็นช่วงช่วงเปิด
(...)จะไม่รวมจุดราก ช่วงปิด[...]จะรวมจุดรากด้วย