อัตราส่วน

บทที่ 1 — อนุกรม (Number Series)

เป้าหมายของบทนี้

อนุกรมคือโจทย์ที่ให้ตัวเลขเรียงกัน แล้วให้เราหา กฎที่ทำให้ตัวเลขเปลี่ยนจากพจน์หนึ่งไปอีกพจน์หนึ่ง เป้าหมายของผู้เริ่มต้นไม่ใช่จำสูตรเยอะ แต่ต้องรู้ว่า ควรลองวิธีไหนก่อน

วิธีอ่านโจทย์อนุกรมแบบง่ายที่สุด

ให้คิดเหมือนตรวจทีละด่าน:

1. ลบก่อน: หาผลต่างระหว่างตัวติดกัน เช่น 2, 5, 8, 11 ได้ +3 เท่ากัน
2. ลบซ้ำอีกชั้น: ถ้าผลต่างยังไม่เท่ากัน ให้ดูผลต่างของผลต่างอีกที
3. ลองคูณ/หาร: ถ้าเลขโตเร็ว เช่น 3, 6, 12, 24 ให้ลองดูว่าคูณเท่าเดิมหรือไม่
4. แยกพจน์คี่/คู่: ถ้าเลขขึ้นลงแปลก ๆ อาจเป็นอนุกรมสลับชุด
5. ดูเลขพิเศษ: เช่น 1, 4, 9, 16 เป็นเลขกำลังสอง หรือ 1, 1, 2, 3, 5 เป็น Fibonacci

4 แบบที่ออกสอบบ่อย

ตัวอย่างที่ควรมองให้เห็นภาพ

โจทย์: 2, 6, 12, 20, 30, ?

ถ้าลบตัวติดกัน จะได้ +4, +6, +8, +10 ซึ่งยังไม่เท่ากัน แต่ผลต่างชุดนี้เพิ่มทีละ +2 ดังนั้นผลต่างถัดไปคือ +12 และคำตอบคือ 30 + 12 = 42

สูตรที่ควรรู้ แต่ไม่ต้องเริ่มด้วยสูตร

สำหรับข้อสอบอนุกรม ส่วนใหญ่ให้หา พจน์ถัดไป ไม่ได้ให้พิสูจน์สูตรยาว ๆ ดังนั้นให้เริ่มจาก pattern ก่อน แล้วใช้สูตรเฉพาะเมื่อจำเป็น

แปลสัญลักษณ์แบบไม่ซับซ้อน

• a_1 คือพจน์แรก
• a_n คือพจน์ลำดับที่ n
• d คือจำนวนที่บวกหรือลบเท่าเดิมทุกครั้ง
• r คือจำนวนที่คูณหรือหารเท่าเดิมทุกครั้ง

จุดที่มักพลาด

พลาด 1: เห็นผลต่างไม่เท่ากันแล้วหยุดคิด ทั้งที่ควรลองหา Δ² ต่อ

พลาด 2: เห็นเลขโตเร็วแต่ยังฝืนลบ ทั้งที่ควรลองคูณ/หาร

พลาด 3: เลขขึ้น ๆ ลง ๆ แล้วคิดว่าผิดโจทย์ ทั้งที่อาจเป็นอนุกรมสลับพจน์คี่/คู่

เช็กลิสต์ 30 วินาทีก่อนตอบ

1. ลบตัวติดกันแล้วคงที่ไหม
2. ถ้าไม่คงที่ ลบผลต่างอีกชั้นแล้วคงที่ไหม
3. เลขโตเร็วแบบคูณหรือหารไหม
4. พจน์คี่กับพจน์คู่แยกกันแล้วสวยขึ้นไหม
5. เป็นเลขกำลังสอง กำลังสาม หรือ Fibonacci ไหม

สรุปจำสั้น

อนุกรมไม่ใช่การเดาเลขถัดไป แต่คือการหา กฎที่ใช้ได้กับทุกพจน์ก่อนหน้า แล้วค่อยเอากฎนั้นไปเติมช่องว่าง

บทที่ 2 — อุปมา อุปไมย

ต้องรู้เรื่องอะไร

โจทย์จะให้คู่ A:B และให้หา D ที่สัมพันธ์กับ C แบบเดียวกัน ต้องฝึก "แปลงความสัมพันธ์" เป็นประโยคสั้น ๆ

เรื่องสำคัญ

• บุคคล/อาชีพ ↔ สถานที่
• สิ่งของ ↔ หน้าที่
• ตรงข้าม
• สมาชิก ↔ หมวดหมู่
• ส่วนย่อย ↔ สิ่งใหญ่
• ผู้ผลิต ↔ ผลผลิต
• คำสามัญ ↔ คำสุภาพ

สูตร / กฎสำคัญ

A : B = C : ? → หา "ตัวเชื่อม" A:B แล้ว apply กับ C

วิธีคิด

1. หาตัวเชื่อม A:B ให้ได้ก่อน — เขียนเป็นประโยค เช่น "A ทำงานใน B"
2. นำความสัมพันธ์นั้นไป apply กับ C
3. ตัดตัวเลือกที่ผิดประเภท เช่น A เป็นสัตว์ คำตอบต้องเป็นสัตว์
4. เลือกคำตอบที่ "แม่นที่สุด" ไม่ใช่ "ใกล้เคียงที่สุด"

เทคนิคจำ

"ถ้า A เป็นหมวดใหญ่ B → D ต้องเป็นหมวดเดียวกับ C"

"ความสัมพันธ์ 13 แบบที่เจอบ่อย: อาชีพ-สถานที่, สิ่งของ-หน้าที่, ตรงข้าม, ส่วน-ทั้งหมด, เมืองหลวง-ประเทศ, ใหญ่-ย่อย, คำสามัญ-สุภาพ"

จุดที่มักพลาด

• ตอบคำตอบที่ "ใกล้เคียง" แต่ไม่ตรงความสัมพันธ์
• ลืมตรวจประเภทของคำ (สัตว์/สถานที่/อาชีพ)
• เลือก "ส่วนย่อย" แทน "ทั้งหมด" หรือกลับกัน

ตัวอย่าง

โจทย์: หมอ : โรงพยาบาล :: ครู : ?

วิธีคิด:

• A:B = "คนทำงานในสถานที่หลัก"
• หมอ → โรงพยาบาล (สถานที่ทำงานหลัก)
• ครู → โรงเรียน (สถานที่ทำงานหลัก) ไม่ใช่ "ห้องเรียน" (ส่วนย่อย)

คำตอบ: โรงเรียน

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "แต่งประโยคเชื่อมโยงคู่แรกให้สั้นและกระชับที่สุด เช่น 'A คือส่วนหนึ่งของ B' แล้วนำประโยคเดียวกันนี้ไปจับคู่หลัง ห้ามเปลี่ยนโครงสร้างประโยคเด็ดขาด!"
• คีย์ลัดจำ: สังเกตประเภทคำเสมอ (เช่น ถ้าฝั่งซ้ายเป็นอาชีพ ฝั่งขวาก็ต้องสัมบูรณ์ตามบริบทวิชาชีพ)

บทที่ 3 — รูปภาพ

ต้องรู้เรื่องอะไร

โจทย์ภาพเกือบทั้งหมด ต้องอ่าน "pattern ภาพ" ให้ออก บทนี้ฝึกยากแต่ใช้หลักการเดิม ๆ ซ้ำได้

เรื่องสำคัญ

• รูปเรียงต่อ (3-5 รูป)
• ตาราง 3×3
• ภาพซ้อน
• ภาพคลี่ (net) → 3D

วิธีคิด

รูปเรียงต่อ:

1. ดูจำนวนด้าน/เหลี่ยม — เพิ่มหรือลด
2. ดูสัดส่วน ดำ:ขาว
3. ดูการหมุน (90°, 180°)
4. ดูการสะท้อน (mirror)

ตาราง 3×3:

1. ดูทั้งแถว — element rotate/สลับ
2. ดูทั้งคอลัมน์ — element shift
3. ดูแนวทแยง
4. ดู "rule" 2 รูปแรก → apply 2 รูปหลัง

ภาพคลี่ (net) → 3D:

• นึกพับในหัว
• ดูว่าด้านใดอยู่ติดกัน ด้านใดอยู่ตรงข้าม
• เทียบลาย/สีบน net กับ 3 ด้านของกล่อง

เทคนิคจำ

"ดู 3 รูปสุดท้ายก่อน แล้วถอยไปหา rule"

"ตาราง 3×3 → ลองตรวจผลรวมแถว/คอลัมน์เป็นหนึ่งใน pattern ก่อน แล้วต้องเช็กให้ใช้ได้ครบทุกแถว/คอลัมน์"

"ภาพคลี่ 3D → ด้านตรงข้ามของ net จะอยู่ตรงข้ามกันใน 3D"

จุดที่มักพลาด

• พับ net ในหัวไม่ออก
• ลืมตรวจมุม 90°/180°/270°
• สับสนสี "ทับ" ในภาพซ้อน

ตัวอย่าง (ตัวอย่างเชิงโครงสร้าง)

โจทย์: ตาราง 3×3 มีจำนวนจุด:

1   2   3
2   3   4
3   ?   5

จงหาจำนวนจุดในช่อง ?

วิธีคิด:

• ทุกแถวเพิ่มจากซ้ายไปขวาทีละ 1
• ทุกคอลัมน์เพิ่มจากบนลงล่างทีละ 1
• แถวล่างต้องเป็น 3, 4, 5

คำตอบ: 4 จุด

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "โฟกัสแค่ทีละตำแหน่ง (เช่น มองมุมบนซ้ายอย่างเดียว หมุนกี่องศา?), นับจำนวนด้านของรูปทรง (3 เหลี่ยม -> 4 เหลี่ยม), หรือนับจุดขาวดำเพื่อดูความสัมพันธ์แยกชิ้น ห้ามเพ่งมองรูปใหญ่ทั้งหมดพร้อมกัน"
• คีย์ลัดจำ: กล่อง 3D คลี่ -> ด้านคู่ที่เว้นระยะห่างกัน 1 ช่องในภาพคลี่ จะไม่มีวันอยู่ติดกันหรือทับซ้อนกันเมื่อพับเป็นกล่อง

บทที่ 4 — IQ

ต้องรู้เรื่องอะไร

โจทย์ IQ มี 3 แบบหลัก ใช้ได้ทั้งตัวเลขและภาษา หลักการคือ "หา pattern ที่ใช้ได้กับทุกข้อมูล"

เรื่องสำคัญ

• โอเปอเรชั่น (a*b = ?)
• ตารางตัวเลข 3×3
• เงื่อนไขภาษา / จัดลำดับ

วิธีคิด

โอเปอเรชั่น:

1. เขียนคู่ตัวเลขและผลลัพธ์เป็นตาราง
2. ลองรูปแบบ: a+b, a−b, a×b, a²±b, ab±a
3. ต้องตรวจครบทุกคู่ ไม่ใช่แค่คู่แรก
4. ถ้ามีหลายกฎ ใช้ตัวเลือกและความเรียบง่ายช่วยตัดสิน

ตารางตัวเลข 3×3:

1. ผลรวมแถว
2. ผลรวมคอลัมน์
3. ผลรวมเส้นทแยง
4. ความสัมพันธ์ระหว่างแถวบน-ล่าง

เงื่อนไขภาษา:

1. แยกข้อเท็จจริง (facts)
2. ทำตารางจัดลำดับ / วาดแผนผัง
3. หาคำตอบที่ "เป็นไปไม่ได้" ก่อน
4. ตรวจตัวเลือกที่เหลือกับ facts

เทคนิคจำ

"โอเปอเรชั่น: เริ่มจาก rule ง่ายสุดก่อน แล้วตรวจครบทุกบรรทัด"

"ตาราง 3×3: ลองตรวจผลรวมแถว/คอลัมน์ก่อน แต่ต้องยืนยันว่า rule ใช้ได้กับข้อมูลทุกส่วน"

"ปริศนา: สมมติคำตอบทีละตัว แล้วดูว่าตรงกี่ fact"

จุดที่มักพลาด

• ยอมรับกฎที่อธิบายได้เพียงบางตัวอย่าง
• ไม่วาดแผนภาพ/ตารางช่วย

ตัวอย่าง

โจทย์ (โอเปอเรชั่น):

• 2 ⨁ 4 = 12
• 3 ⨁ 5 = 24
• 4 ⨁ 6 = 40
• จงหา 5 ⨁ 7

วิธีคิด:

• ทดลอง a ⨁ b = a×b + a²
• 2⨁4 = 8+4 = 12 ✓
• 3⨁5 = 15+9 = 24 ✓
• 4⨁6 = 24+16 = 40 ✓
• 5⨁7 = 35+25 = 60

คำตอบ: 60

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "โจทย์ ⨁ (Operation) ส่วนใหญ่หนีไม่พ้นสูตร: (หน้า × หลัง) + ตัวแปร, (หน้า + หลัง) × ค่าคงที่ หรือ หน้า² + หลัง ให้สุ่มลองสูตรเหล่านี้กับคู่แรกและคู่สองคู่ขนานกันเสมอ"
• คีย์ลัดจำ: ถ้าตัวเลขผลลัพธ์ลงท้ายด้วย 0 หรือเลขคู่บ่อยๆ ให้เดาว่ามีการคูณด้วยเลขคู่หรือการยกกำลังร่วมด้วย

บทที่ 5 — เลขพื้นฐาน

ต้องรู้เรื่องอะไร

พื้นฐานที่สุดของคณิตศาสตร์ ถ้าผิดที่นี่จะพลาดทุกบทถัดไป ต้องจำ BODMAS ให้แม่น

เรื่องสำคัญ

• ลำดับการคำนวณ (BODMAS)
• เศษส่วน
• ทศนิยม
• เลขยกกำลังเบื้องต้น
• สมการเบื้องต้น

สูตร / กฎสำคัญ

ลำดับการคำนวณ (BODMAS):

1. Brackets (วงเล็บ)
2. Orders (ยกกำลัง, ราก)
3. Division ÷
4. Multiplication ×
5. Addition +
6. Subtraction −

คูณ/หาร และ บวก/ลบ ทำ "จากซ้ายไปขวา" ในระดับเดียวกัน

เศษส่วน:

• บวก/ลบ → หา ค.ร.น. ของตัวส่วนก่อน
• คูณ → เศษ×เศษ, ส่วน×ส่วน
• หาร → กลับเศษส่วนหลัง แล้ว "คูณ"

ทศนิยมเป็นเศษส่วน:

• 0.5 = ½
• 0.25 = ¼
• 0.75 = ¾
• 0.125 = ⅛

วิธีคิด

1. หาวงเล็บก่อน → ทำในวงเล็บ
2. ยกกำลัง/ราก
3. คูณ/หาร (ซ้ายไปขวา)
4. บวก/ลบ (ซ้ายไปขวา)

เทคนิคจำ

"วงเล็บ > ยกกำลัง > คูณ/หาร > บวก/ลบ"

"คูณ-หาร เป็นพี่น้อง ทำซ้ายไปขวา"

"บวก-ลบ เป็นพี่น้อง ทำซ้ายไปขวา"

จุดที่มักพลาด

• ทำบวก/ลบก่อนคูณ/หาร
• หารเศษส่วนแล้วลืมกลับ
• ทศนิยม ×10 ลืมขยับจุด

ตัวอย่าง

โจทย์: 18 + 6 × (12 − 8) ÷ 2 − 4²

วิธีคิด:

1. วงเล็บ: (12−8) = 4
2. ยกกำลัง: 4² = 16 → 18 + 6×4÷2 − 16
3. คูณ/หาร: 6×4 = 24 → 18 + 24÷2 − 16 → 24÷2 = 12 → 18 + 12 − 16
4. บวก/ลบ: 18 + 12 = 30 → 30 − 16 = 14

คำตอบ: 14

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "จำกฎเหล็ก BODMAS: ทำวงเล็บก่อน -> ยกกำลัง -> คูณ/หาร (ทำจากซ้ายไปขวา) -> บวก/ลบ (ทำจากซ้ายไปขวา) ถ้าทำผิดลำดับ คำตอบจะตรงกับช้อยส์หลอกทันที"
• คีย์ลัดจำ: เมื่อแปลงเศษส่วนหรือทศนิยม ให้แปลงทุกอย่างให้อยู่ในประเภทเดียวกันก่อนคำนวณเสมอ

บทที่ 6 — ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ต้องรู้เรื่องอะไร

ห.ร.ม. = ตัวหารร่วมที่มากที่สุด, ค.ร.น. = ตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ใช้บ่อยในโจทย์จัดกลุ่ม/จัดรอบเวลา

เรื่องสำคัญ

• แยกตัวประกอบเฉพาะ
• หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
• โจทย์จัดลงกล่อง/แถว (ใช้ ห.ร.ม.)
• โจทย์เวลาบรรจบ/รอบ (ใช้ ค.ร.น.)

สูตร / กฎสำคัญ

วิธีแยกตัวประกอบ:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• ตัวประกอบร่วม = 2¹, 3¹

ห.ร.ม.:

• เอาตัวประกอบร่วม × เลขชี้กำลัง "น้อยสุด"
• ห.ร.ม.(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 6

ค.ร.น.:

• เอาตัวประกอบทั้งหมด × เลขชี้กำลัง "มากสุด"
• ค.ร.น.(12, 18) = 2² × 3² = 36

ความสัมพันธ์ (สำหรับจำนวนเต็มบวก 2 จำนวน): a × b = ห.ร.ม.(a,b) × ค.ร.น.(a,b)

วิธีคิด

1. แยกตัวประกอบเฉพาะของแต่ละจำนวน
2. ห.ร.ม. = ตัวร่วม เลขชี้น้อยสุด
3. ค.ร.น. = ตัวร่วม + ตัวเฉพาะ เลขชี้มากสุด

เทคนิคจำ

"ห.ร.ม. = หาร → เอาเฉพาะที่ร่วม + เลขชี้น้อย"

"ค.ร.น. = คูณ → เอาทั้งหมด + เลขชี้มาก"

"จัดลงกล่องเท่า ๆ กัน → ห.ร.ม. / บรรจบพร้อมกัน → ค.ร.น."

จุดที่มักพลาด

• สับสน ห.ร.ม. กับ ค.ร.น.
• เลขชี้กำลังผิด (เลือกมากแทนน้อย หรือกลับกัน)
• ลืมตัวประกอบที่มีเฉพาะจำนวนเดียว (สำหรับ ค.ร.น.)

ตัวอย่าง

โจทย์: ครู 3 คนสอนคนละคาบ 36, 48, 60 นาที เริ่มพร้อมกัน 8:00 อีกกี่นาทีจะจบพร้อมกันอีกครั้ง?

วิธีคิด:

• 36 = 2²×3², 48 = 2⁴×3, 60 = 2²×3×5
• ค.ร.น. = 2⁴ × 3² × 5 = 720 นาที

คำตอบ: 720 นาที (12 ชั่วโมง)

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว:
• ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก): "หาขนาดของเล็กๆ ในของใหญ่ เช่น ตัดแบ่งผ้า, จัดกลุ่มคนให้เท่ากันโดยไม่ปะปนเพศ, หาขนาดกล่องที่ใหญ่ที่สุดที่จะจัดใส่"
• ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย): "หาจุดบรรจบของเวลาหรือสิ่งของที่เคลื่อนที่คนละความเร็ว เช่น นาฬิกาปลุกพร้อมกันครั้งถัดไป, รถวิ่งมาเจอกันที่จุดเริ่มต้น"

บทที่ 7 — อัตราส่วน

ต้องรู้เรื่องอะไร

อัตราส่วนคือการเปรียบเทียบ 2 ปริมาณ เช่น น้ำ : นม = 1 : 2 งานส่วนใหญ่คือ "หาค่าจริงจากอัตราส่วน"

เรื่องสำคัญ

• อัตราส่วนตรง
• อัตราส่วนต่อเนื่อง
• อัตราส่วนแปรผกผัน
• แบ่งตามอัตราส่วน
• อัตราส่วนหลายตัว (3+ ตัว)

สูตร / กฎสำคัญ

อัตราส่วนตรง: a/b = c/d

แบ่งตามอัตราส่วน:

• ผลรวม = S, อัตราส่วน a:b
• แต่ละส่วน = (a/(a+b)) × S

แปรผกผัน: x₁y₁ = x₂y₂

• ตัวอย่าง: คนเพิ่ม → เวลาลด (งานเท่าเดิม)

วิธีคิด

อัตราส่วนตรง:

1. เขียน a/b = c/d
2. ตัวที่หา = (ตัวเทียบ × ตัวที่รู้) / ตัวที่รู้

อัตราส่วนต่อเนื่อง:

• A:B และ B:C → ทำค่า B ให้เท่ากันก่อน
• แล้วรวมเป็น A:B:C

แบ่งตามอัตราส่วน:

1. รวมส่วนทั้งหมด
2. หา "1 ส่วน" = ผลรวม ÷ จำนวนส่วน
3. คูณกลับตามสัดส่วน

เทคนิคจำ

"a:b = ka:kb (k ใดก็ได้)"

"ลดรูปอัตราส่วนด้วย ห.ร.ม."

"ต่อเนื่อง A:B และ B:C → หา B ร่วมก่อน"

จุดที่มักพลาด

• ลืมแปลงเป็นหน่วยเดียวกัน
• สับสนตรงกับผกผัน
• ต่อเนื่อง: คิดว่าเอา B มาต่อกันตรง ๆ ได้เลย

ตัวอย่าง

โจทย์: แบ่งเงิน 3 คน ในอัตราส่วน 2:3:5 คนที่ 3 ได้ 15,000 บาท คนที่ 1 ได้กี่บาท?

วิธีคิด:

• คนที่ 3 = 5 ส่วน = 15,000
• 1 ส่วน = 3,000
• คนที่ 1 = 2 × 3,000 = 6,000

คำตอบ: 6,000 บาท

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "สูตรเปลี่ยนอัตราส่วนร่วม (A:B และ B:C): หา ค.ร.น. ของตัวแปรเชื่อม (B) แล้วคูณอัตราส่วนทั้งฝั่งเพื่อให้ตัวเชื่อมเท่ากัน จะได้อัตราส่วนร่วม A:B:C ทันที"
• คีย์ลัดจำ: สมมติตัวแปร x เข้าไปในอัตราส่วน (เช่น 2x, 3x, 5x) เพื่อเขียนสมการหาค่าจริงได้รวดเร็วขึ้น

บทที่ 8 — ร้อยละ

ต้องรู้เรื่องอะไร

ร้อยละ (% หรือ percent) เจอบ่อยมาก ใช้ทั้งในชีวิตประจำวันและข้อสอบ บทนี้ออกเยอะ

เรื่องสำคัญ

• ร้อยละของการเปลี่ยนแปลง
• แผนภูมิวงกลม
• ดอกเบี้ยอย่างง่าย / ดอกเบี้ยทบต้น
• กำไร/ขาดทุน

สูตร / กฎสำคัญ

ร้อยละการเปลี่ยนแปลง:

% = ((ค่าใหม่ − ค่าเดิม) / ค่าเดิม) × 100

แผนภูมิวงกลม:

มุมที่จุดศูนย์กลาง = (ส่วนที่สนใจ / ทั้งหมด) × 360°

ดอกเบี้ยอย่างง่าย:

• ดอกเบี้ย = (เงินต้น × อัตรา% × เวลา) / 100

ดอกเบี้ยทบต้น:

• เงินปีที่ n = เงินต้น × (1 + อัตรา/100)ⁿ

กำไร/ขาดทุน:

• กำไร% = (กำไร / ทุน) × 100
• ขาดทุน% = (ขาดทุน / ทุน) × 100

วิธีคิด

1. แยกให้ออกว่าโจทย์ถามอะไร (ร้อยละ / ดอกเบี้ย / กำไร)
2. เลือกสูตรที่ตรง
3. แทนค่า คำนวณ

เทคนิคจำ

"เพิ่ม 25% = ×1.25 / ลด 25% = ×0.75"

"เพิ่ม a% แล้วลด b% ≠ เพิ่ม (a−b)% จริง ๆ = (1+a/100)(1−b/100)"

"ดอกเบี้ยทบต้น → คูณ (1+r)ⁿ"

จุดที่มักพลาด

• คิดว่า "เพิ่ม 25% แล้วลด 20% = เพิ่ม 5%" จริง ๆ = 0%
• ลืมใช้ "ทุน" เป็นฐาน ไม่ใช่ "ราคาขาย"
• ดอกเบี้ยทบต้น ใช้สูตรทบต้นผิด (ใช้สูตรดอกเบี้ยอย่างง่าย)

ตัวอย่าง

โจทย์: ต้นทุน 800 บาท ติดป้าย 1,000 บาท แล้วลด 20% ขายจริงเท่าไหร่ กำไรกี่ %?

วิธีคิด:

• ลด 20% ของ 1,000 = 200
• ขายจริง = 1,000 − 200 = 800
• กำไร = 800 − 800 = 0 → กำไร 0%

คำตอบ: ขาย 800 บาท, กำไร 0%

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "เพิ่ม x% ให้คูณด้วย (1 + x/100), ลด x% ให้คูณด้วย (1 - x/100). จำไว้ว่า 'เพิ่ม 25% แล้วลด 20% ผลลัพธ์สุดท้ายจะกลับมาเท่าเดิมพอดี (0%)'"
• คีย์ลัดจำ: ทุนคือหัวใจสำคัญของกำไร/ขาดทุนเสมอ ห้ามคิดเปอร์เซ็นต์จากราคาขายเด็ดขาด ยกเว้นโจทย์จะสั่งเป็นพิเศษ

บทที่ 9 — สมการ

ต้องรู้เรื่องอะไร

สมการคือประโยคคณิตศาสตร์ที่มีเครื่องหมาย “=” เชื่อมสองข้าง งานหลักคือหาค่าตัวแปรที่ทำให้สองข้างเท่ากัน

เรื่องสำคัญ

• สมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร
• สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร
• สมการกำลังสอง
• โจทย์ปัญหา (อายุ, เงิน, สัตว์, ผสม)

สูตร / กฎสำคัญ

สูตรกำลังสอง:

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

การแยกตัวประกอบ (a = 1):

• x² + bx + c = (x + m)(x + n) เมื่อ m+n = b และ mn = c

โจทย์ปัญหา — Template:

• อายุ: "อีก n ปี" = เพิ่ม n ให้ทั้งสองฝ่าย
• สัตว์: x + y = หัว, 2x + 4y = ขา
• ผสม: (ปริมาณ₁ × เข้มข้น₁) + (ปริมาณ₂ × เข้มข้น₂) = (รวม × เข้มข้นผสม)

วิธีคิด

สมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร:

1. ย้ายข้าง — เครื่องหมายเปลี่ยน
2. รวมตัวแปรที่เหมือนกัน
3. หารด้วยสัมประสิทธิ์

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร:

• แทนค่า หรือ กำจัดตัวแปร

กำลังสอง:

1. ถ้า a = 1 → แยกตัวประกอบ (หา m, n ที่ m+n = b, mn = c)
2. ถ้าแยกตัวประกอบได้ง่าย → ใช้การแยกตัวประกอบ; ถ้าแยกยากหรือไม่ลงตัว → ใช้สูตรกำลังสอง

เทคนิคจำ

"ตรวจคำตอบกลับเข้าสมการทุกครั้ง"

"โจทย์อายุ: กำหนด x ให้ชัดว่าแทนอายุใคร/ช่วงเวลาใด แล้วเพิ่มหรือลดจำนวนปีให้ทุกคนเท่ากัน"

"โจทย์สัตว์: ตั้งสมการจากจำนวนหัวและจำนวนขา แล้วตรวจว่าจำนวนสัตว์เป็นจำนวนเต็มและไม่ติดลบ"

จุดที่มักพลาด

• ย้ายข้างแล้วลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
• แยกตัวประกอบผิด
• โจทย์ปัญหา: ลืมตั้งตัวแปร

ตัวอย่าง

โจทย์ (อายุ): พ่อ 50 ปี ลูก 20 ปี อีกกี่ปีพ่ออายุเป็น 2 เท่าลูก?

วิธีคิด:

• ให้ x = จำนวนปี
• (50 + x) = 2(20 + x)
• 50 + x = 40 + 2x
• x = 10
• ตรวจ: พ่อ 60, ลูก 30, 60 = 2×30 ✓

คำตอบ: 10 ปี

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "โจทย์อายุ: ตั้งอายุปัจจุบันเป็นตัวแปรหลัก (x), อีก n ปีข้างหน้า = x + n (ต้องเพิ่มอายุให้ทุกคนเท่ากันเสมอ), โจทย์สัตว์/ขา: ตั้งสมการ สัตว์ 4 ขา = 4x, สัตว์ 2 ขา = 2y แล้วใช้วิธีกำจัดตัวแปร"
• คีย์ลัดจำ: ลองนำช้อยส์ย้อนกลับไปแทนค่าในเงื่อนไขโจทย์ จะประหยัดเวลาตั้งสมการได้เยอะมาก

บทที่ 10 — เลขยกกำลัง & พหุนาม

ต้องรู้เรื่องอะไร

เลขยกกำลังคือ aᵐ และพหุนามคือนิพจน์ที่มีตัวแปรยกกำลัง งานคือ "ทำให้ง่าย" และ "แยกตัวประกอบ"

เรื่องสำคัญ

• สมบัติเลขยกกำลัง
• การบวก/ลบ/คูณ/หารพหุนาม
• การแยกตัวประกอบพหุนาม
• ทฤษฎีเศษเหลือ

สูตร / กฎสำคัญ

สมบัติเลขยกกำลัง:

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ
• a⁰ = 1 (a ≠ 0)

การแยกตัวประกอบ:

• x² + bx + c = (x+m)(x+n) เมื่อ m+n = b และ mn = c
• x² − a² = (x+a)(x−a) (ผลต่างกำลังสอง)
• (x±a)² = x² ± 2ax + a² (กำลังสองสมบูรณ์)

ทฤษฎีเศษเหลือ:

• ถ้าหาร P(x) ด้วย (x − a) เศษ = P(a)
• เคล็ดลับ: แทนค่า x = a ตรง ๆ ไม่ต้องหารจริง

วิธีคิด

1. ใช้สมบัติเลขยกกำลังรวมเทอมก่อน
2. ถ้าเป็นพหุนาม → ดูว่าแยกตัวประกอบได้ไหม
3. ตรวจ: คูณกลับต้องได้พหุนามเดิม

เทคนิคจำ

"aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (บวกเลขชี้)"

"aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (ลบเลขชี้)"

"แยกตัวประกอบ: หา m, n ที่ m+n = b และ mn = c"

"ผลต่างกำลังสอง: x² − a² = (x−a)(x+a)"

จุดที่มักพลาด

• สับสน (aᵐ)ⁿ กับ aᵐ × aⁿ
• a⁰ ลืมว่า = 1
• แยกตัวประกอบผิดเครื่องหมาย

ตัวอย่าง

โจทย์: ทำให้ง่าย 3⁵ × 3² ÷ 3⁴

วิธีคิด:

• 3⁵ × 3² = 3⁷
• 3⁷ ÷ 3⁴ = 3³ = 27

คำตอบ: 27

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "สูตรทองคำผลต่างกำลังสอง: หน้า² - หลัง² = (หน้า - หลัง)(หน้า + หลัง) และกำลังสองสมบูรณ์ (หน้า ± หลัง)² = หน้า² ± 2(หน้า)(หลัง) + หลัง² ออกข้อสอบบ่อยที่สุด"
• คีย์ลัดจำ: เลขยกกำลังฐานติดลบ ถ้ากำลังเลขคู่จะได้บวก ถ้ากำลังเลขคี่จะได้ลบ

บทที่ 11 — อสมการ

ต้องรู้เรื่องอะไร

อสมการคือสมการที่มีเครื่องหมาย <, >, ≤, ≥ คล้ายสมการแต่มีจุดที่ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย

เรื่องสำคัญ

• อสมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร
• อสมการกำลังสอง
• ค่าสัมบูรณ์

สูตร / กฎสำคัญ

กฎตัวหารลบ:

เมื่อคูณ/หารด้วยจำนวนลบ → กลับเครื่องหมาย

อสมการกำลังสอง ax² + bx + c:

1. แยกตัวประกอบ หาราก x₁ < x₂
2. ถ้า a > 0 (กราฟเปิดขึ้น ∪): ค่าเป็นบวก "นอก" ช่วงราก, เป็นลบ "ระหว่าง" ราก
3. ถ้า a < 0 (กราฟเปิดลง ∩): ตรงกันข้าม

ค่าสัมบูรณ์ |x − a| < b:

• หมายถึง −b < x − a < b
• หรือ a − b < x < a + b

วิธีคิด

เชิงเส้น: เหมือนสมการ แต่ระวังตัวหารลบ

กำลังสอง:

1. ย้ายทุกพจน์ข้างเดียว
2. หารากของสมการ (= 0)
3. ดูทิศเปิดพาราโบลา → ตอบช่วง

เทคนิคจำ

"หารด้วยลบ = กลับเครื่องหมาย"

"a > 0 = หุบเขา (∪) / a < 0 = เนินเขา (∩)"

"≥ ≤ ต้องรวมจุดราก, > < ไม่รวม"

จุดที่มักพลาด

• ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อหารด้วยลบ
• ทิศพาราโบลากลับด้าน
• ไม่รวม/รวมจุดรากผิด

ตัวอย่าง

โจทย์: แก้อสมการ 3(x − 2) ≥ 2x + 5

วิธีคิด:

• 3x − 6 ≥ 2x + 5
• 3x − 2x ≥ 5 + 6
• x ≥ 11

คำตอบ: x ≥ 11

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "กฎเหล็กข้อเดียวของอสมการ: เมื่อใดก็ตามที่นำ จำนวนลบ ไปคูณหรือหารทั้งสองข้างของอสมการ ต้องกลับเครื่องหมาย (เช่น จาก > เป็น <) เสมอ!"
• คีย์ลัดจำ: การเขียนคำตอบเป็นช่วงช่วงเปิด (...) จะไม่รวมจุดราก ช่วงปิด [...] จะรวมจุดรากด้วย

บทที่ 12 — ความน่าจะเป็น

ต้องรู้เรื่องอะไร

ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิด ค่าอยู่ 0-1 (0%-100%) ใช้ในชีวิตจริงและข้อสอบบ่อย

เรื่องสำคัญ

• ความน่าจะเป็นพื้นฐาน
• เหตุการณ์ที่มีเงื่อนไข
• เหตุการณ์รวม (อย่างน้อย / ทั้งหมด)
• การเรียงสับเปลี่ยน/จัดหมู่

สูตร / กฎสำคัญ

สูตรหลัก:

P(เหตุการณ์) = จำนวนเหตุการณ์ที่สนใจ / จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด

กฎสำคัญ:

• P(ไม่เกิด) = 1 − P(เกิด) ← ใช้บ่อยมาก
• P(A และ B) = P(A) × P(B) เมื่ออิสระ
• P(A หรือ B) = P(A) + P(B) − P(A และ B)

เรียงสับเปลี่ยน/จัดหมู่:

• P(n, r) = n! / (n−r)!
• C(n, r) = n! / [r! × (n−r)!]

วิธีคิด

1. ระบุจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด
2. ระบุจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจ
3. หารกัน → P

เทคนิคจำ

"P(อย่างน้อย 1) = 1 − P(ไม่มีเลย)"

"ไม่ใส่กลับ = ตัวหารลด"

"จัดหมู่ vs เรียงสับเปลี่ยน: ลำดับสำคัญไหม?"

จุดที่มักพลาด

• ใช้สูตรบวก/คูณผิด (อิสระ vs ไม่อิสระ)
• ไม่ใส่กลับ แต่คิดว่าใส่กลับ
• สับสนเรียงสับเปลี่ยนกับจัดหมู่

ตัวอย่าง

โจทย์: กล่องมีลูกบอล 5 ลูก (แดง 3, ขาว 2) หยิบ 2 ลูกไม่ใส่กลับ โอกาสได้ขาวทั้ง 2 ลูก?

วิธีคิด:

• วิธีหยิบ 2 จาก 5 = C(5,2) = 10
• วิธีหยิบขาว 2 จาก 2 = C(2,2) = 1
• P = 1/10 = 0.1

คำตอบ: 1/10

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "สูตรลัดหาโอกาสแบบ 'อย่างน้อย 1 ครั้ง': ให้คิด 1 - P(ไม่เกิดขึ้นเลย) จะคิดง่ายและเร็วกว่าการคิดทุกกรณีแบบตรงๆ หลายเท่าตัว"
• คีย์ลัดจำ: หยิบของแบบไม่ใส่คืน ตัวหาร (จำนวนทั้งหมด) ในรอบถัดไปจะต้องลดลง 1 เสมอ

บทที่ 13 — เลขคณิต & เรขาคณิต

ต้องรู้เรื่องอะไร

ลำดับเลขคณิต/เรขาคณิต + พีทาโกรัส + มุมและเส้นขนาน บทนี้ผสมระหว่างเลขและรูปทรง

เรื่องสำคัญ

• ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence)
• ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
• พีทาโกรัส
• มุมและเส้นขนาน

สูตร / กฎสำคัญ

ลำดับเลขคณิต:

• aₙ = a₁ + (n−1)d
• Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n−1)d] หรือ n/2 × (a₁ + aₙ)

ลำดับเรขาคณิต:

• aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

พีทาโกรัส: a² + b² = c²

สามสามัญ (จำได้): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

มุม:

• ผลบวกมุมภายในสามเหลี่ยม = 180°
• เส้น 2 เส้นตัดกัน: มุมตรงข้ามเท่ากัน
• เส้นขนานตัดด้วยเส้นตัด: มุมสมนัยเท่ากัน, มุมภายในด้านเดียวกันรวม 180°

วิธีคิด

ลำดับ: ระบุ d หรือ r → แทนสูตร

พีทาโกรัส: ดูว่าด้านไหนขาด → a² + b² = c²

มุม: วาดรูปช่วย → ระบุความสัมพันธ์

เทคนิคจำ

"พีทาโกรัส: c เป็นด้านยาวสุด (ตรงข้ามมุมฉาก)"

"สามเหลี่ยม: มุมรวม = 180°"

"เส้นขนาน: มุมสมนัยเท่ากัน และมุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดรวม 180°"

จุดที่มักพลาด

• สับสน c ในพีทาโกรัส (c = ด้านยาวสุด)
• ลืมว่ามุมในสามเหลี่ยมรวม 180°

ตัวอย่าง

โจทย์: ลำดับเลขคณิต 7, 11, 15, 19, … จงหาพจน์ที่ 20

วิธีคิด:

• a₁ = 7, d = 4
• a₂₀ = 7 + (20−1) × 4 = 7 + 76 = 83

คำตอบ: 83

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "จำชุดเลขพีทาโกรัสยอดนิยม: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ถ้าโจทย์ให้ด้านมุมฉากมาสองด้าน ให้เทียบสัดส่วนกับชุดเลขเหล่านี้เพื่อตอบได้ในทันที"
• คีย์ลัดจำ: เส้นขนานสองเส้นตัดด้วยเส้นขวาง มุมแย้งจะเท่ากันเสมอ และมุมภายในฝั่งเดียวกันรวมกันได้ 180°

บทที่ 14 — พื้นที่ & ปริมาตร

ต้องรู้เรื่องอะไร

สูตรพื้นที่ 2D และปริมาตร 3D จำให้ได้แม่น บทนี้ออกเยอะและง่ายถ้าจำสูตรได้

เรื่องสำคัญ

• พื้นที่รูป 2D (6 แบบหลัก)
• ปริมาตรรูป 3D (5 แบบหลัก)
• โจทย์ผสม (รูปทรงซ้อน/หักมุม)

สูตร / กฎสำคัญ

สูตรพื้นที่ (Area):

| รูปทรง | พื้นที่ |
|

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว:
• พื้นที่วงกลม: πr² (มี r สองตัวเพราะเป็น 2 มิติ)
• เส้นรอบวง: 2πr
• ปริมาตรทรงกรวย/พีระมิด: ต้องมีเศษหนึ่งส่วนสาม 1/3 คูณอยู่ข้างหน้าเสมอ (เพราะเป็น 1 ใน 3 ของทรงกระบอก/กล่องที่มีฐานเท่ากัน)
• คีย์ลัดจำ: 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร และ 1 ลูกบาศก์เมตร = 1,000 ลิตร

---|---|
| สี่เหลี่ยมจัตุรัส | ด้าน² |
| สี่เหลี่ยมผืนผ้า | กว้าง × ยาว |
| สี่เหลี่ยมคางหมู | ½ × ผลบวกด้านคู่ขนาน × สูง |
| สามเหลี่ยม | ½ × ฐาน × สูง |
| สามเหลี่ยมด้านเท่า | (√3/4) × ด้าน² |
| วงกลม | πr² |

สูตรปริมาตร (Volume):

π ≈ 3.14159 และ 22/7 ≈ 3.142857 (ใช้ 22/7 เมื่อโจทย์กำหนดหรือเมื่อเหมาะกับตัวเลข)

วิธีคิด

1. ดูรูปทรง → เลือกสูตร
2. แทนค่า
3. ระวังหน่วย (m², cm³, ลิตร)

เทคนิคจำ

"พื้นที่วงกลมมี r² แต่เส้นรอบวงมี r ตัวเดียว"

"ทรงกรวยและพีระมิด = (1/3) × ฐาน × สูง"

"1 ลิตร = 1,000 ลบ.ซม. = 0.001 ลบ.ม."

จุดที่มักพลาด

• สับสน r² กับ r (พื้นที่ vs เส้นรอบวง)
• ลืม ×(1/3) ในทรงกรวย/พีระมิด
• หน่วยผิด

ตัวอย่าง

โจทย์: สนามหญ้ากว้าง 8 ม. ยาว 15 ม. ใช้หญ้าแผ่นละ 1.5 ตร.ม. ต้องใช้กี่แผ่น?

วิธีคิด:

• พื้นที่ = 8 × 15 = 120 ตร.ม.
• แผ่น = 120 / 1.5 = 80

คำตอบ: 80 แผ่น

บทที่ 15 — สามเหลี่ยม

ต้องรู้เรื่องอะไร

ตรีโกณมิติ (sin, cos, tan) ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก เน้นจำ SOH-CAH-TOA และตาราง sin/cos/tan ของ 3 มุม

เรื่องสำคัญ

• ชนิดของสามเหลี่ยม
• ตรีโกณมิติ (sin/cos/tan)
• พื้นที่สามเหลี่ยม (สูตร ½ab sin C)

สูตร / กฎสำคัญ

SOH-CAH-TOA:

• Sin = Opposite / Hypotenuse
• Cos = Adjacent / Hypotenuse
• Tan = Opposite / Adjacent

ตารางค่าตรีโกณมิติ:

| มุม | sin | cos | tan |
|

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "ท่องจำ SOH-CAH-TOA -> Sin (ข้าม/ฉาก), Cos (ชิด/ฉาก), Tan (ข้าม/ชิด). ค่าของมุม 30°, 45°, 60° ให้จำรูปสามเหลี่ยมมาตรฐานหรือใช้นิ้วมือช่วยนับเพื่อป้องกันความสับสน"
• คีย์ลัดจำ: พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัดด้านและมุมใดๆ หาได้จากสูตร ½ × a × b × sin C

---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |

พื้นที่สามเหลี่ยม (ด้าน-ด้าน-มุม): A = ½ × a × b × sin C

วิธีคิด

1. วาดรูปสามเหลี่ยม ระบุด้าน/มุมที่รู้และที่หา
2. เลือก sin/cos/tan ตามด้านที่มี
3. แทนค่า คำนวณ

เทคนิคจำ

"SOH-CAH-TOA: จำเป็นชื่อเล่น"

"30°-60°-90°: sin กลับด้านกับ cos"

"45°-45°-90°: sin = cos = √2/2, tan = 1"

จุดที่มักพลาด

• สลับ Opposite/Adjacent
• จำตาราง sin/cos สลับกัน

ตัวอย่าง

โจทย์: ยืนห่างตึก 20 ม. มองยอดตึกมุมเงย 60° ตึกสูงกี่เมตร?

วิธีคิด:

• tan 60° = สูง/ระยะ
• √3 = สูง/20
• สูง = 20√3 ≈ 34.64 เมตร

คำตอบ: 20√3 เมตร

บทที่ 16 — เลขฐาน

ต้องรู้เรื่องอะไร

เลขฐาน 2 (binary) ใช้กับคอมพิวเตอร์ เลขฐาน 10 (decimal) คือเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวัน บทนี้สั้นแต่ออกบ่อย

เรื่องสำคัญ

• แปลงฐาน 10 ↔ ฐาน 2
• บวก/ลบเลขฐาน

สูตร / กฎสำคัญ

ฐาน 10 → ฐาน 2:

• หารด้วย 2 ซ้ำ → เก็บเศษ → อ่านเศษจากล่างขึ้นบน

ฐาน 2 → ฐาน 10:

• กระจายตามหลัก: 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰

บวก/ลบเลขฐาน:

• ทำเหมือนฐาน 10 แต่ carry เมื่อถึงฐาน
• ฐาน 2: carry ที่ 2
• ฐาน 8: carry ที่ 8
• ฐาน 16: carry ที่ 16

วิธีคิด

ฐาน 10 → ฐาน 2: หาร 2 → เก็บเศษ → อ่านกลับด้าน
ฐาน 2 → ฐาน 10: กระจาย 2ⁿ
บวกเลขฐาน: เรียงหลัก → บวก → carry เมื่อครบฐาน

เทคนิคจำ

"หาร 2 เก็บเศษ อ่านกลับหัว"

"กระจาย 2ⁿ ได้ค่าจริงในฐาน 10"

จุดที่มักพลาด

• อ่านเศษผิดทิศ (ต้องล่างขึ้นบน)
• ลืม carry ในการบวก

ตัวอย่าง

โจทย์: แปลง 11010₂ เป็นฐาน 10

วิธีคิด:

• 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰
• 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26

คำตอบ: 26

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "แปลงฐาน 10 ไปฐานอื่น: ใช้การตั้งหารสั้นด้วยฐานที่ต้องการแปลง แล้วเขียนเศษจากล่างขึ้นบน. แปลงฐานอื่นกลับมาฐาน 10: คูณตัวเลขในแต่ละหลักด้วย ฐาน^ตำแหน่ง (เริ่มจากหลักขวาสุดเป็นตำแหน่ง 0)"
• คีย์ลัดจำ: เลขฐาน 2 บวกกันได้ 2 ให้ใส่ 0 แล้วทด 1 ไปหลักถัดไป

บทที่ 17 — สถิติ

ต้องรู้เรื่องอะไร

สถิติพื้นฐานที่ต้องรู้คือ ค่ากลาง (mean, median, mode) และการกระจาย (SD, variance) ใช้บ่อยในงานวิเคราะห์ข้อมูล

เรื่องสำคัญ

• ค่ากลาง (mean, median, mode)
• ค่ากลางของการแจกแจงความถี่
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) / ความแปรปรวน
• ค่าความเบ้
• ควอไทล์/เปอร์เซ็นไทล์

สูตร / กฎสำคัญ

ค่าเฉลี่ย (Mean):

x̄ = Σxᵢ / n

มัธยฐาน (Median): ค่ากลาง (เรียงข้อมูลก่อน)

ฐานนิยม (Mode): ค่าที่มีความถี่สูงสุด (อาจมี 0, 1 หรือหลายค่า)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD):

σ = √[Σ(xᵢ − x̄)² / n]

ความแปรปรวน (Variance): σ²

วิธีคิด

Mean: รวมข้อมูล ÷ จำนวน
Median: เรียง → ค่ากลาง
Mode: หาค่าที่ซ้ำมากสุด
SD: หา mean → ลบ mean แต่ละตัว → ยกกำลังสอง → เฉลี่ย → ถอดราก

เทคนิคจำ

"Mean = รวม/จำนวน / Median = กลาง / Mode = ซ้ำมากสุด"

"SD = √Variance"

"เบ้ขวา: Mean > Median, เบ้ซ้าย: Mean < Median"

จุดที่มักพลาด

• สับสน SD กับ Variance
• มัธยฐาน: ลืมเรียงข้อมูล
• สูตรควอไทล์มีหลาย convention ให้ดูนิยามโจทย์

ตัวอย่าง

โจทย์: ข้อมูล 5, 7, 8, 12, 13 จงหา mean, median, mode

วิธีคิด:

• Mean = 45/5 = 9
• Median = 8 (ตัวที่ 3)
• Mode = ไม่มี (ทุกค่าปรากฏครั้งเดียว)

คำตอบ: Mean 9, Median 8, ไม่มี Mode

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "มัธยฐาน (Median): ต้องเรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปมากก่อนหาค่าตรงกลางเสมอ. ฐานนิยม (Mode): คือตัวที่มีซ้ำกันเยอะที่สุด. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) เป็นบวกหรือศูนย์เสมอไม่มีวันติดลบ"
• คีย์ลัดจำ: ความแปรปรวน (Variance) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกำลังสอง (SD²)

บทที่ 18 — เซต

ต้องรู้เรื่องอะไร

เซตคือกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ใช้ ∪ (รวม), ∩ (ร่วม), ' (เติมเต็ม) บทนี้ออกบ่อยและมีสูตรจำนวนสมาชิกที่ต้องจำ

เรื่องสำคัญ

• นิยาม/สัญลักษณ์
• ยูเนียน/อินเตอร์เซกชัน/คอมพลีเมนต์
• แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
• จำนวนสมาชิก
• เซตย่อย

สูตร / กฎสำคัญ

จำนวนสมาชิก (2 เซต):

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

จำนวนสมาชิก (3 เซต):

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)
           − n(A∩B)−n(B∩C)−n(A∩C)
           + n(A∩B∩C)

จำนวนเซตย่อย: 2ⁿ
จำนวนเซตย่อยแท้ (ไม่รวมเซตเดิม แต่รวม ∅): 2ⁿ − 1
จำนวนเซตย่อยแท้ที่ไม่ว่าง: 2ⁿ − 2

สัญลักษณ์:

• ∈ = เป็นสมาชิก
• ⊆ = เซตย่อย
• ∪ = ยูเนียน (รวม)
• ∩ = อินเตอร์เซกชัน (ร่วม)
• ' = คอมพลีเมนต์
• ∅ = เซตว่าง

วิธีคิด

1. เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2. ใส่ค่าที่รู้
3. หาค่าที่ต้องการ

เทคนิคจำ

"n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) — ลบ n(A∩B) แค่ครั้งเดียว"

"เซตย่อย: 2ⁿ"

"3 เซต: บวกทีละตัว, ลบคู่, บวกกลับตรงกลาง"

จุดที่มักพลาด

• ลบ n(A∩B) มากเกินไป
• ลืม +n(A∩B∩C) ในสูตร 3 เซต
• สับสนเซตย่อยกับเซตย่อยแท้

ตัวอย่าง

โจทย์: สำรวจนักเรียน 100 คน ชอบกีฬา 60, ชอบดนตรี 40, ชอบทั้งสอง 20

1. ชอบอย่างน้อย 1 อย่าง
2. ไม่ชอบทั้งสอง

วิธีคิด:

• n(A∪B) = 60 + 40 − 20 = 80
• n(ไม่ชอบ) = 100 − 80 = 20

คำตอบ: 80 คน, 20 คน

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "สูตร 2 เซต: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). ให้วาดแผนภาพเวนน์ 2 วงหรือ 3 วงทับซ้อนกัน แล้วเริ่มเติมตัวเลขจากบริเวณตรงกลางสุด (อินเตอร์เซกชันร่วม) เสมอ"
• คีย์ลัดจำ: จำนวนเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่มีสมาชิก n ตัว คือ 2ⁿ

บทที่ 19 — ตรรกศาสตร์

ต้องรู้เรื่องอะไร

ประพจน์ (T/F) + การเชื่อม (และ/หรือ/ถ้า..แล้ว) + ตารางค่าความจริง บทนี้เป็นพื้นฐานของการให้เหตุผล

เรื่องสำคัญ

• ประพจน์/การเชื่อม
• ค่าความจริง (T/F)
• นิเสธ/สมมูล
• สัจนิรันดร์/การขัดแย้ง

สูตร / กฎสำคัญ

ตารางค่าความจริง:

| p | q | p∧q | p∨q | p→q | p↔q |
|

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "ตัวเชื่อม 'ถ้า...แล้ว' (p → q) จะมีกรณีที่เป็นเท็จ (F) เพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือ ตัวหน้าจริง ตัวหลังเท็จ (T → F = F) และจำสูตรสมมูลสมมาตร p → q ≡ ~q → ~p ไว้ใช้แทนกัน"
• คีย์ลัดจำ: ตัวเชื่อม 'และ' (∧) เป็นจริงเมื่อจริงทั้งคู่, 'หรือ' (∨) เป็นเท็จเมื่อเท็จทั้งคู่

---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |

กฎสำคัญ:

• p → q เท็จเฉพาะ เมื่อ p จริง q เท็จ
• p → q ≡ ~p ∨ q
• p → q ≡ ~q → ~p (contrapositive)
• ~(p∧q) ≡ ~p ∨ ~q (De Morgan)
• ~(p∨q) ≡ ~p ∧ ~q (De Morgan)
• q → p = converse (ไม่สมมูล กับ p → q)

สัจนิรันดร์ (Tautology): จริงเสมอ เช่น p ∨ ~p
การขัดแย้ง (Contradiction): เท็จเสมอ เช่น p ∧ ~p

วิธีคิด

1. แทนตัวแปรแต่ละค่า (T/F)
2. คำนวณค่าตามการเชื่อม
3. ตรวจทุกกรณี (4 กรณี ถ้ามี 2 ตัวแปร)

เทคนิคจำ

"p→q เท็จ: เฉพาะ p จริง, q เท็จ (เท่านั้น)"

"De Morgan: กลับ ∨↔∧ และใส่ ~ ทุกตัว"

"p→q ≡ ~q→~p (contrapositive) — ใช้ได้เสมอ"

"q→p ≠ p→q (converse) — ระวัง!"

จุดที่มักพลาด

• สับสน contrapositive กับ converse
• p→q เท็จ: คิดว่ามีหลายกรณี
• De Morgan: ลืมกลับ ∨↔∧

ตัวอย่าง

โจทย์: (p ∧ q) → p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่?

วิธีคิด:

• p=T,q=T: T∧T=T → T→T = T
• p=T,q=F: T∧F=F → F→T = T
• p=F,q=T: F∧T=F → F→F = T
• p=F,q=F: F∧F=F → F→F = T
• ทุกกรณี = T → สัจนิรันดร์

คำตอบ: เป็นสัจนิรันดร์

บทที่ 20 — การให้เหตุผล

ต้องรู้เรื่องอะไร

การให้เหตุผล 3 แบบ: นิรนัย (จากทั่วไป → เฉพาะ), อุปนัย (จากเฉพาะ → ทั่วไป), Abductive (หาคำอธิบายที่ดีที่สุด) + ปริศนาเชาวน์

เรื่องสำคัญ

• นิรนัย (Deductive)
• อุปนัย (Inductive)
• Abductive (หาคำอธิบายที่ดีที่สุด)
• แผนภาพ/การจัดลำดับ
• ปริศนาเชาวน์/เงื่อนไขซับซ้อน

สูตร / กฎสำคัญ

นิรนัย (Deductive):

• Modus Ponens: p→q, p ⇒ q
• Modus Tollens: p→q, ~q ⇒ ~p

อุปนัย (Inductive):

• สังเกตหลายกรณี → สรุปเป็นแนวโน้ม
• ระวัง: ข้อสรุปไม่รับประกันว่าจริงเสมอ

Abductive:

• เริ่มจากสิ่งสังเกต → เลือกคำอธิบายที่สมเหตุสมผลที่สุด
• ใช้ในการวิเคราะห์สาเหตุ

วิธีคิด

ปริศนาเชาวน์:

1. แยกประเด็น: ใคร ทำอะไร ที่ไหน เมื่อไหร่
2. ใช้ตาราง ✓/✗
3. หาค่าที่ "แน่นอน" ก่อน → ตัดตัวเลือกอื่น
4. วนซ้ำจนครบ

แผนภาพจัดลำดับ:

1. เขียนข้อเท็จจริงทั้งหมด
2. วาดแผนภาพ (แท่ง/วงกลม/ตาราง)
3. ทดสอบข้อสรุป

เทคนิคจำ

"นิรนัย: จากกฎทั่วไป → เฉพาะ (สรุปได้แน่ ๆ)"

"อุปนัย: จากตัวอย่าง → กฎ (สรุปได้แต่ไม่รับประกัน)"

"Abductive: หาเหตุผลที่สมเหตุสมผลที่สุด"

"ปริศนา: สมมติคำตอบทีละตัว แล้วดูว่าตรงกี่ fact"

จุดที่มักพลาด

• สับสนนิรนัยกับอุปนัย
• ปริศนา: ข้ามขั้นตอนตาราง

ตัวอย่าง

โจทย์: ผู้ต้องสงสัย A, B, C, D ขโมย 1 คน พูดจริงคนละ 1 ประโยค มีคนพูดจริง 1 คน

• A: "B ขโมย"
• B: "A ไม่ได้ขโมย"
• C: "D ขโมย"
• D: "B ไม่ได้ขโมย"

วิธีคิด:

• ถ้า A ขโมย → A เท็จ, B เท็จ, C เท็จ, D จริง = จริง 1 คน ✓
• ถ้า B ขโมย → A จริง, B จริง = จริง 2 คน ✗
• ถ้า C ขโมย → B จริง, D จริง = จริง 2 คน ✗
• ถ้า D ขโมย → B, C, D จริง = จริง 3 คน ✗

คำตอบ: A

Premium Explanation (คำอธิบายพิเศษระดับพรีเมียม)

• สูตรลับจำเร็ว: "การหาคนโกหก/สัจธรรม: ตั้งสมมติฐานให้ตัวเลือกหนึ่งเป็นจริง แล้วตรวจเช็กว่าเงื่อนไขอื่นขัดแย้งกันหรือไม่ หรือใช้ตารางขีดถูก/ผิดเพื่อแยกแยะข้อเท็จจริงในโจทย์ปริศนา"
• คีย์ลัดจำ: การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อ (เหตุ 1 ∧ เหตุ 2 ∧ ...) → ผล เป็นสัจนิรันดร์

🏁 Quick Review ก่อนเข้าห้องสอบ

อ่านส่วนนี้ใน 10–15 นาทีก่อนสอบ

สูตรที่ควรจำ (สรุปเร็ว)

Rule สำคัญ

1. BODMAS: วงเล็บ > ยกกำลัง > คูณ/หาร > บวก/ลบ
2. หารด้วยลบ = กลับเครื่องหมาย (อสมการ)
3. p→q เท็จเฉพาะ p จริง, q เท็จ
4. P(อย่างน้อย 1) = 1 − P(ไม่มีเลย)
5. x² − a² = (x−a)(x+a)
6. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
7. จำนวนเต็มบวก 2 จำนวน: a×b = ห.ร.ม.(a,b) × ค.ร.น.(a,b)

เทคนิคจำ

1. "ห.ร.ม. = หาร → เฉพาะที่ร่วม + เลขชี้น้อย"
2. "ค.ร.น. = คูณ → ทั้งหมด + เลขชี้มาก"
3. "จัดลงกล่อง = ห.ร.ม. / บรรจบพร้อมกัน = ค.ร.น."
4. "×1.25 แล้ว ×0.80 = ×1.00 → กลับมาเท่าเดิม"
5. "เซตย่อย = 2ⁿ"
6. "SOH-CAH-TOA"
7. "SD = √Variance"
8. "30°-60°-90°: sin กลับด้าน cos"
9. "นิรนัย = จากทั่วไป, อุปนัย = จากตัวอย่าง"
10. "ปริศนา: สมมติคำตอบทีละตัว"

Trap สำคัญ (จุดที่ผู้สอบมักพลาด)

1. อนุกรม: ลืมลอง "จับกลุ่ม" เมื่อ Δ ไม่คงที่
2. อุปมา อุปไมย: ตอบ "ใกล้เคียง" แทน "ตรงเป๊ะ"
3. BODMAS: ทำบวก/ลบก่อนคูณ/หาร
4. ห.ร.ม./ค.ร.น.: สลับเลขชี้กำลัง
5. ร้อยละ: เพิ่ม 25% แล้วลด 20% ≠ เพิ่ม 5%
6. อสมการ: ลืมกลับเครื่องหมายเมื่อหารด้วยลบ
7. สถิติ: สับสน SD กับ Variance
8. เซต: ลบ n(A∩B) มากเกินไป
9. ตรรกศาสตร์: สับสน contrapositive กับ converse

ตาราง sin/cos/tan (จำให้ได้)

ตารางพื้นที่ 2D (จำให้ได้)

ตารางปริมาตร 3D (จำให้ได้)